Circuitos Magneticos Ejercicios Resueltos -

Problema: Un núcleo magnético rectangular tiene una bobina con $500$ vueltas y una corriente de $1 , A$. El núcleo de hierro tiene una longitud media de $80 , cm$ y una sección transversal de $10 , cm^2$. Existe un entrehierro de $1 , mm$ en el núcleo. Suponiendo que la permeabilidad relativa del hierro es muy alta ($\mu_r \rightarrow \infty$, es decir, reluctancia del hierro despreciable), calcule la densidad de flujo magnético $B$ en el entrehierro.

Solución:

  • Calcular Reluctancia del Entrehierro ($\mathcalR_g$): $$ \mathcalR_g = \fracl_g\mu_0 \cdot A_g = \frac1 \times 10^-3(4\pi \times 10^-7)(10 \times 10^-4) $$ $$ \mathcalR_g = \frac10^-34\pi \times 10^-10 = \frac10^74\pi \approx 795,775 , At/Wb $$

  • Calcular Flujo ($\Phi$): $$ \mathcalF = N \cdot I = 500 \cdot 1 = 500 , At $$ $$ \Phi = \frac\mathcalF\mathcalR_g = \frac500795,775 \approx 6.28 \times 10^-4 , Wb $$

  • Calcular Densidad de Flujo ($B$): $$ B = \frac\PhiA = \frac6.28 \times 10^-410 \times 10^-4 = 0.628 , T , (\textTesla) $$

    • Respuesta: La densidad de flujo en el entrehierro es de 0.628 Tesla.

    The Scenario:
    A steel ring has a small air gap of l_g = 1 mm. The mean path length in steel is l_s = 0.4 m, cross-section A = 8 cm² = 8 × 10⁻⁴ m². The coil has N = 500 turns, current I = 2 A. Steel’s μᵣ = 1000. Neglect fringing. Find the flux Φ.

    Step 1 – MMF:
    MMF = 500 × 2 = 1000 A·t.

    Step 2 – Reluctance of steel (ℛₛ):
    [ ℛₛ = \fracl_sμ₀ μᵣ A = \frac0.4(4π×10^-7)(1000)(8×10^-4) ]
    μ₀ μᵣ A = 4π×10^-7 × 1000 × 8×10^-4 = 1.0053×10^-6.

    Thus: [ ℛₛ = \frac0.41.0053×10^-6 ≈ 3.98×10^5 \text A·t/Wb ]

    Step 3 – Reluctance of air gap (ℛ_g):
    For air, μᵣ = 1.
    [ ℛ_g = \fracl_gμ₀ A = \frac0.001(4π×10^-7)(8×10^-4) ]
    μ₀ A = 3.183×10^-10 × 8×10^-4? Let’s compute carefully: circuitos magneticos ejercicios resueltos

    μ₀ A = 4π×10^-7 × 8×10^-4 = 1.0053×10^-9.

    Then ℛ_g = 0.001 / (1.0053×10^-9) ≈ 9.95×10^5 A·t/Wb.

    Step 4 – Total reluctance:
    ℛ_total = ℛₛ + ℛ_g = (3.98 + 9.95)×10^5 ≈ 13.93×10^5 A·t/Wb.

    Step 5 – Flux:
    Φ = MMF / ℛ_total = 1000 / (13.93×10^5) ≈ 7.18×10^-4 Wb (0.718 mWb).

    ✅ Answer: Flux is 0.718 mWb.

    “Notice,” Elena notes, “the tiny 1 mm gap contributes more reluctance than 0.4 m of steel. Air gaps dominate magnetic circuits.”

    Problem:
    A toroidal iron core has a mean circumference ( l = 0.4 ) m, cross-sectional area ( A = 5 \times 10^-4 ) m², relative permeability ( \mu_r = 800 ), and a coil with ( N = 200 ) turns carrying ( I = 1.5 ) A. Find:

    Solution:

    Answer: ( \mathcalR \approx 7.96 \times 10^5 ) A-t/Wb, ( \Phi \approx 0.377 ) mWb, ( B \approx 0.754 ) T.

    Problem Statement (typical from textbooks):
    A toroidal iron core has mean length 50 cm, cross-sectional area 10 cm², $\mu_r = 2000$, and a 2 mm air gap. A 500-turn coil carries 1 A. Neglect fringing. Find: (a) Flux in the core, (b) Inductance. Problema: Un núcleo magnético rectangular tiene una bobina

    Given data:
    $l_c = 0.5 - 0.002 = 0.498$ m, $l_g = 0.002$ m, $A = 10 \times 10^-4 = 0.001$ m², $\mu_0 = 4\pi \times 10^-7$, $\mu_r = 2000$, $N = 500$, $I = 1$ A.

    Step-by-step solution (as found in good solved-exercise books):

    Common student mistake: Forgetting to subtract $l_g$ from $l_c$ (using $l_c = 0.5$ m instead of 0.498 m) – small error here but critical in precision problems.

    Enunciado:
    El mismo núcleo del ejercicio 1, pero ahora se le hace un corte de (l_g = 1) mm. Suponga que el entrehierro tiene la misma área (A_g = A). Calcule: a) Reluctancia total del circuito (núcleo + entrehierro). b) Corriente necesaria para mantener el mismo flujo (\Phi = 5.027\times 10^-3) Wb. c) La FMM necesaria.

    | Assumption in exercises | Real-world factor | |------------------------|-------------------| | Constant ( \mu_r ) | Non-linear B-H curve, saturation | | No flux leakage | Leakage flux exists (fringing at gaps) | | Uniform cross-section | Tapered cores, varying area | | Negligible fringing at air gaps | Fringing increases effective gap area | | No hysteresis or eddy currents | Core losses exist in AC operation |

    For advanced exercises:

    Enunciado:
    El núcleo anterior se corta, creando un entrehierro de 1 mm. Calcular la nueva corriente necesaria para mantener el mismo flujo de 0.004 Wb, considerando que el entrehierro aumenta la reluctancia total.

    Solución:

  • Reluctancia del hierro (longitud del hierro = 0.4 - 0.001 = 0.399 m): [ \mathcalR_hierro = \frac0.399(2.513 \times 10^-3) \cdot 0.001 \approx 158,800 , \textAv/Wb ]

  • Reluctancia del entrehierro (μ_aire ≈ μ₀): [ \mathcalRaire = \fraclaire\mu_0 \cdot A = \frac0.001(4\pi \times 10^-7) \cdot 0.001 ] [ \mathcalR_aire = \frac0.0011.2566 \times 10^-9 \approx 795,775 , \textAv/Wb ] Calcular Flujo ($\Phi$): $$ \mathcalF = N \cdot

  • Reluctancia total: [ \mathcalR_total = 158,800 + 795,775 = 954,575 , \textAv/Wb ]

  • FMM necesaria: [ \mathcalF = 0.004 \times 954,575 = 3,818.3 , \textAv ]

  • Corriente: [ I = \frac3,818.3500 = 7.64 , \textA ]

    • Conclusión importante: Un pequeño entrehierro de 1 mm aumentó la corriente necesaria de 1.27 A a 7.64 A (¡6 veces más!). Esto demuestra cómo los entrehierros aumentan drásticamente la reluctancia.

    Enunciado:
    Un núcleo de hierro fundido tiene una longitud de 0.5 m, área 0.002 m² y 200 espiras. Usando la curva B-H aproximada:
    Para B = 0.8 T → H = 500 Av/m
    Para B = 1.0 T → H = 1000 Av/m
    Para B = 1.2 T → H = 3000 Av/m

    Calcular la corriente necesaria para lograr B = 1.0 T.

    Solución:

    Pregunta adicional: ¿Qué corriente se necesitaría si el material fuera lineal con μᵣ = 800?

    Con μᵣ = 800: μ = 800·4πe-7 ≈ 0.001005 H/m
    B = μ·H → H = B/μ = 1.0/0.001005 ≈ 995 Av/m
    ℱ = 995×0.5 = 497.5 Av; I = 2.49 A (similar al valor anterior porque la curva ya era casi lineal en esa zona).

    Pero si B = 1.2 T, H lineal daría 1.2/0.001005 ≈ 1194 Av/m, mientras que la real es 3000 Av/m → ¡mucho mayor! La saturación dispara la corriente necesaria.

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